El modelomas simple de movimiento armónico es una masa, sobre una superficie sin fricción, unida a un resorte por un lado y el otro extremo del resorte a una pared fija. Podemos ver de la imagen 1 que: Xe es la longitud del resorte sin estirar, en este caso la masa estará en una posición de reposo, es decir esta en equilibrio y es su posición inicial, en esta posición la energía potencial de la masa es mínima.
Simovemos la masa hacia delante o hacia atrás, el resorte se estira o se comprime respectivamente por lo ue este ejercerá una fuerza sobre la masa, y el resorte siempre intentará llegar a la configuración de equilibrio, por lo que nos será necesario tener una expresión de una fuerza restauradora para poder calcular el movimiento de la masa.
La energía potencial del sistema (resorte y masa) debe tener un comportamiento similar en puntos cercanos a la posición de equilibrio Xe , y este debe de ser un término cuadrático, por lo que tenemos que la fuerza de restauración estará dada por la ley de Hooke:
en donde k = 2a2 es la constante del resorte, la fuerza derivada debe de ser una fuerza restauradora ya que la derivada de la energía potencial debe de ser negativa para los desplazamientos positivos del punto de euilibrio y positiva para los desplazamientos negativos, entonces podemos escribir la segunda ley de Newton como:
esta ecuación diferencial lineal de segundo orden la podemos resolver de la siguiente manera:
Primero podemos poner la ecuación (6) como
donde sabemos que x depende del tiempo x = x(t), y la ecuación caracteristica de (7) la podemos escribir como
y resolviendo para w
por lo que tenemos dos posibles soluciones para w
y la solución general de (7) es de la forma:
en donde w0 es la frecuencia angular del sistema
el movimiento tendrá las siguientes características:
1- Se caracteriza por una sola frecuencia angular, w0, el movimiento se repite cada 2𝝅 en el argumento
del sin o despues de un ciclo, el tiempo requerido para avanzar en 2𝝅 estará dado como:
en donde T0 es el periodo.
2- El movimiento estará acotado en -A ≤ x ≤ A, en donde A es el desplazamiento máximo desde el equilibrio, es decir la amplitud, y este depende de w0.
3- El ángulo de fase 𝜙0 es el valor inicial del argumento angular de la función sin, y esta determina el valor del desplazamiento x en t=0, entonces en t=0 tenemos
el desplazamientomáximo desde el equilibrio ocurre al tiempo tm cuando la componente angular
del argumento de la función sin es 𝝅/2 o
la frecuencia esta dada como
y sustituyendo T0 tendremos
y finalmente tenemos que la frecuencia es.
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