Ecuaciones de movimiento con fuerzas dependientes de la velocidad - caida vertical cuadrática-

En este caso, la magnitud de f (v) es proporcional a v^2, recordemos que el signo que precede a la f (v) depende de si el cuerpo se mueve hacia arriba o hacia abajo, esto para que podamos mantener una fuerza de resistencia, y que esta sea proporcional a una potencia uniforme de velocidad.

En este caso vamos a simplificar un poco las cosas, ya que una solución general implica tratar los movimientos ascendente y descendente, aquí vamos a ver el caso en que la partícula cae desde el reposo con una velocidad inicial v0, consideramos que la dirección descendente es positiva, entonces tendremos que nuestra ecuación quedaría como

y esto lo podemos poner de la siguiente manera, factorizando mg

pero como la velocidad terminal es

entonces

entonces, (31) lo podemos escribir como

pero recordemos que esto es

y despejando la aceleración tendremos

haciendo separación de variables 

e integramos ambos lados de la ecuación

el lado izquierdo de la ecuación queda

para resolver la integral del lado derecho, primero hacemos los siguiente pasos

sustituyendo (43) en (39)

ahora ya podemos solucionar la integral, primero hacemos que

por lo cual

entonces

pero

entonces (47) es

y sabemos que

entonces

sustituyendo u

pero

por lo que (56) queda

y sustituyendo (59) en (44) tenemos

pero si hacemos que 𝛕 sea el tiempo característico

entonces

ahora resolvemos esta ecuación para v

si el cuerpo el liberado del reposo en el tiempo t = 0, entonces v0 = 0 y tenemos

y recordemos que tanh(x) la podemos expresar con exponentes

por lo cual (71) nos queda como

Ya que en muchas ocasiones nos interesa saber la velocidad alcanzada por la partícula despues de caer una determinada distancia,lo que hacemos es modificar nuestra primer ecuación diferencial de tal modo que la variable independiente sea la distancia y no el tiempo, esto lo hacemos de la siguiente manera

por lo que (36) lo podemos escribir como

hacemos el siguiente cambio de variable, sea u

entonces

pero por (76) tenemos

pero por (77)

y separando variables tenemos

integramos ambos lados de la ecuación

regresando el cambio de variable u

esto en y = 0 = y0 tenemos

por lo cual podemos ver que los cuadrados de la velocidad inicial y la velocidad terminal se van a desaparecer exponencialmente.

<- Ecuaciones de movimiento con fuerzas dependientes de la velocidad - caida vertical lineal-