Movimiento de una partícula en un campo magnético uniforme y constante

 En este caso, como en el pasado, vamos a elegir el eje Z para que este en la misma dirección que el campo, esto es

 

 

entonces, nuestra ecuación diferencial de movimiento (14) la podemos escribir como

 

 

y esto a su vez lo podemos escribir como

 

 

sustituimos (4) en (2)

 

 

y la parte izquierda la podemos escribir como:

 

 

resolviendo el determinante vamos a tener

 

 

y esto lo podemos poner en ecuaciones de sus componentes:

 

 

aquí, tenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento las cuales no son separables, pero si las podemos solucionar integrando con respecto al tiempo una vez, esto es

 

 

en donde

 

 

entonces

 

 

seguimos operando un poco en estas ecuaciones

 

y esto lo podemos expresar como

 

 

en donde

 

 

ahora si sustituimos la segunda parte de la ecuación (16) en la primera parte de la ecuación (9) obtenemos

 

 

en donde

 

 

en donde la solución de la ecuación (25) será:

 

 

en donde A y 𝞱0 son constantes de integración, si derivamos esta expresión con respecto al tiempo obtendremos la velocidad, la cual será

 

 

 

esta expresión para la velocidad la podemos sustituir en la primer expresión de (16), lo cual nos queda

 

 

en donde

 

 

para encontrar el camino del movimiento, vamos a eliminar el tiempo con las ecuaciones (27) y (34)

 

 

entonces, tendremos que la proyección e la trayectoria en el plano xy es un circulo de radio A centrado en el punto (a,b), y ya que en la dirección z tenemos que la aceleración es una constante, uniendo ambos movimientos, llegamos a la conclusión de que la trayectoria que toma la partícula es una hélice, el eje de la trayectoria de la bobina esta en la dirección del campo magnético, como se muestra a continuación, figura 1, de (34), al diferenciarla con respecto a t, podemos ver 

Figura 1

 

 

al eliminar el tiempo t con las ecuaciones (30) y (46) obtendremos

 

 

tomando en cuenta (17) tendremos

 

 

despejando el radio A

 

 

y si hacemos que

 

 

entonces tendremos

 

 

Si no existe una componente de la velocidad en la dirección z la trayectoria será un circulo de radio A, de la ultima ecuación es evidente que el radio A es proporcional a la rapidez V1 y que la frecuencia angular 𝞈 del movimiento de la trayectoria circular es independiente de la velocidad, la frecuencia angular que tenemos en este problema, 𝞈, se conoce como frecuencia de ciclotrón.

 

 

 

 

 

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