Oscilador armónico subamortiguado

 Como habíamos visto anteriormente en el caso III del oscilador armónico con amortiguamiento, este pierde energía por lo que podremos deducir que las trayectorias del estado de fases no serán cerradas, ya que la energía cambia con cada periodo que pasa, y también, teníamos que la solución de este oscilador es:

y su velocidad será

recordemos que la fase inicial esta dada por la posición inicial del oscilador

y lo que haremos a cotinuación serán dos cambios de variable que nos simplificarán el problema, los cuales son

y

sustituimos estos dos cambios de variable en las ecuaciones (1) y (2)

ahora vamos a aplicar la siguiente transformación lineal a la ecuación (7)

por lo que y queda como

elevamos al cuadrado la ecuación (12)

pero

sustituimos esto en la ecuación (13)

en donde

entonces

y resolvemos de la siguiente manera

y esta última ecuación tiene la forma de una ecuación de elipse cuyo eje mayor es

y el eje menor es

los cuales decrecen exponencialmente con el tiempo, ya que el factor ℽ es muy pequeño comparado

con 𝜔0, entonces tendremos

y también

entonces (22) se convierte en

finalmente sustituimos

y

con lo cual obtenemos 

multiplicamos todo por un medio

pero

y si nos damos cuenta esta es la energía cinética y potencial, por lo que nos queda

la cual nos representa la energía total, ya que la energía del oscilado armónico subamortiguado decae exponencialmente con el tiempo, la trayectoria de su espacia de fase será es de una espiral.

<- Oscilador armónico simple sin fuerza de amortiguamiento    

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