Oscilador armónico isotrópico en dos dimensiones

Figura 1

Consideremos una partícula en movimiento la cual esta sujeta a una fuerza de restauración lineal la cual siempre se dirige al origen del sistema coordenado que usamos, esta fuerza la podemos expresar como

recordando la segunda ley de Newton

entonces combinando las ecuaciones (1) y (2) tendremos que nuestra ecuación diferencial de movimiento para esta partícula descrita será

esta ecuación se conoce como la ecuación diferencial del oscilador isotrópico lineal, si tenemos el movimiento de esta partícula en un plano, dos dimensiones, podemos reescribir la ecuación (3) como dos ecuaciones que dependen de las componentes de cada uno de los ejes de nuestro sistema, los cuales serían

estas ecuaciones, las resolvimos anteriormente, por lo cual tomaremos esa solución, que corresponde a la ecuación (28) del movimiento armónico, por lo cual las soluciones serán:

en donde

las constantes de integración las podemos obtener a partir de las condiciones iniciales en cada caso.

Para encontrar la ecuación de la trayectoria de dicha partícula procedemos a eliminar el tiempo en ambas ecuaciones, de la siguiente forma, la ecuación de y la escribimos como

en donde vemos claramente que

y podemos agrupar el argumento del coseno de la siguiente forma sin perder ninguna de sus propiedades

y ahora como tenemos el coseno de la suma de dos ángulos, esto será

ahora bien, de la ecuación (5) podemos ver que

y también si elevamos al cuadrado ambas partes de a ecuación anterior vamos a llegar a lo siguiente

sustituimos (12) y (19) en (11)

y a partir de esta ecuación con un poco de álgebra obtenemos

esta es una ecuación cuadrática de dos variables, pero recordemos cual es la ecuación cuadrática general

la cual puede representar una elipse, una hipérbola, o una parábola dependiendo del discriminaste

si es negativo, positivo o cero, respectivamente, para nuestra ecuación el discriminante sería

el cual siempre es negativo, por lo tanto la trayectoria seria una elipse, pero si tomamos que Δ=𝜋/2 la ecuación (37) será

esta ecuación es una elipse cuyos ejes coinciden con los ejes del sistema de coordenadas, ahora si la diferencia e fase es de 0 o 𝝅 (37) se reducirá en ambos casos a:

para 𝝙 = 0

ahora para 𝝙 = 𝞹 

por lo que tendremos que la ecuación de la trayectoria se reduce a la ecuación de una linea, la cual podemos ver como

en donde tomaremos la parte positiva se 𝝙=0 y la negativa cuando 𝝙=𝛑.

<- Movimiento de proyectiles con resistencia lineal del aire

Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico ->