Torque externo

 El torque externo total de un sistema de partículas es la derivada total con respecto al tiempo de su momento angular.

Para obtener el torque externo total de un sistema, primero hay que recordar el momento angular de la i-ésima partícula de dicho sistema

y posteriormente derivar este momento angular

y por la propiedad de la derivada del producto cruz de dos vectores

entonces, la ecuación (2) nos queda

y esto en la notación simplificada que hemos llevado es

pero recordemos que

por lo cual (5) es

y ya que el producto vectorial lo podemos obtener con un determinante, si recordamos algunas reglas de los determinantes es que, si hacemos el producto vectorial de dos vectores, iguales, el determinante resultante es cer o, y ya que lamasa de las partículas es constante, la podemos sacar del producto vectorial, quednadodnos solo

por lo que (7) se reduce a

pero de la ecuación (7) de centro de masa y movimiento del centro demasa teníamos

por lo que si sustituimos esta ecuación (10) en la (9) y haciendo uso de la siguiente propiedad del producto vectorial nos quedará

y sumando sobre i ambosmiembros de la ecuación

y si se cumple la tercera ley de Newton entonces las ecuaciones (13), (14) y (15) de centro de masa y movimiento del centro de masa, que escribimos a continuación, se cumplen y tendremos lo siguiente

entonces, el segundo producto vectorial de (13) será

pero por (14) tenemos

y usando (11) esto se convierte en

en donde

es la posición de la i-ésima partícula con respecto a la j-ésima partícula, juntando (13), (20) y (21)

entonces podemos representar esto como

en donde

es el torque externo resultante sobre el sistema de partículas en torno a un eje dado, y

es el torque interno resultante con respecto al mismo eje.

Por lo que finalmente tenemos que: El torque externo total sobre un sistema de partículas 𝛕(ext) es

igual a la derivada total con respecto al tiempo t del momento angular del sistema L, siempre que

se cumpla la tercera ley de Newton en su forma fuerte, tendremos que debido a esto Fij(int) va a lo

largo de lamisma dirección que ±rij , por lo cual esto se anulará

por lo cual (23) se reduce a

<- Momento angular                                                                                                       Energía cinética ->