El modelomas simple de movimiento armónico es una masa, sobre una superficie sin fricción, unida a un resorte por un lado y el otro extremo del resorte a una pared fija. Podemos ver de la imagen 1 que: Xe es la longitud del resorte sin estirar, en este caso la masa estará en una posición de reposo, es decir esta en equilibrio y es su posición inicial, en esta posición la energía potencial de la masa es mínima.
Simovemos la masa hacia delante o hacia atrás, el resorte se estira o se comprime respectivamente por lo ue este ejercerá una fuerza sobre la masa, y el resorte siempre intentará llegar a la configuración de equilibrio, por lo que nos será necesario tener una expresión de una fuerza restauradora para poder calcular el movimiento de la masa.
La energía potencial del sistema (resorte y masa) debe tener un comportamiento similar en puntos cercanos a la posición de equilibrio Xe , y este debe de ser un término cuadrático, por lo que tenemos que la fuerza de restauración estará dada por la ley de Hooke:
en donde k = 2a2 es la constante del resorte, la fuerza derivada debe de ser una fuerza restauradora ya que la derivada de la energía potencial debe de ser negativa para los desplazamientos positivos del punto de euilibrio y positiva para los desplazamientos negativos, entonces podemos escribir la segunda ley de Newton como:
esta ecuación diferencial lineal de segundo orden la podemos resolver de la siguiente manera:
Primero podemos poner la ecuación (6) como
donde sabemos que x depende del tiempo x = x(t), y la ecuación caracteristica de (7) la podemos escribir como
y resolviendo para w
por lo que tenemos dos posibles soluciones para w
y la solución general de (7) es de la forma:
en donde
por lo que la solución la podemos poner como
esta expresión ya nos permite conocer la posición del resorte en cualquier instante t , para calcular
las constantes primero asumimos que el resorte esta en reposo en t = 0 por lo que
y su velocidad
y esta debe de ser cero ya que esta en reposo, ahora sustituimos la primer condición inicial y tenemos
para la segunda condición inicial, debemos calcular la derivada de la posición x(t)
y ahora ya aplicamos la segunda condición inicial
por lo que finalmente tenemos que c1 es
ahora sustituyendo los valores constantes en la solucion tendremos
Por otra parte, como el valor del argumento de la función coseno varia de 0 a 2𝝅 radianes y luego se repite de forma cíclica el período de la oscilación viene dado por
y su frecuencia de oscilación será:
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