Oscilador armónico simple sin fuerza de amortiguamiento
Vamos a ver el movimiento del espacio fase del oscilador armónico que no esta sujeto a ninguna fuerza de amortiguamiento, como habíamos visto en elmovimiento armónico la posición esta dada por la siguiente expresión
y la velocidad es
si hacemos que la velocidad sea
entonces tenemos que (2) se transforma en
ahora elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (4)
de la ecuación (6) dividimos ambas partes por el cuadrado de la velocidad angular
sumamos las ecuaciones (5) y (7) y simplificamos
dividimos ambos lados por el cuadrado de la amplitud
esta ultima ecuación es la ecuación de una elipse, cuyos semiejes mayor y menor son A y 𝜔0A respectivamente, y con esto podemos ver que las trayectorias del camino de fase nunca se cruzan, si existiera un punto común entre dos trayectorias esto significaría que a partir de un conjunto de condiciones iniciales, el sistema podría evolucionar en dos movimientos diferentes,y esto no puede ser posible, ya que si el movimiento comienza con valores específicos de posición y velocidad, según las leyes de Newton sumovimiento esta determinado completamente un único movimiento futuro para el sistema.
También podemos notar que para este caso, en que no hay fuerzas externas o fuerzas de amortiguación o extras, la energía se conserva y por lo cual la trayectoria de la partícula será una trayectoria cerrada. Anteriormente vimos que la energía des oscilador armónico simple es
por lo que la amplitud al cuadrado es
y también tenemos una expresión para la velocidad angular, que es
sustituyendo (14) y (15) en (12) vemos que
si solucionamos par la energía y devolvemos el cambio de variable que habíamos hecho, encontramos
esto es la energía del oscilador armónico que habíamos encontrado anteriormente, por lo que cada trayectoria del estado-fase cerrada, corresponde a una energía total conservada.
<- Factor de calidad del oscilador armónico con mortiguamiento débil parte 1
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