Operador de Del

Supongamos que tenemos una partícula de prueba sujeta a una fuerza cuyo rotacional se desvanece, entonces todas las componentes del rotacional de F

se desvanecen. Y para que esto pase podemos hacer que el rotador desaparezca si derivamos F de una función de energía potencial

de acuerdo a lo siguiente

esto lo vamos a probar a continuación, para esto tomamos en cuenta (1) y (3) y nos queda lo siguiente

y esto se puede hacer si V es continuo y diferenciable en todas partes. El hecho de que el rotacional de F sea cero es una condición necesaria y suficiente para que exista V(x, y, z) si se cumple (3). Por lo que podemos expresar nuestra fuerza conservativa de forma vectorial como:

y esto lo podemos escribir de una maneramas simple, como habíamos visto anteriormente

en donde el operador de Del es

el cual también se conoce como gradiente, el gradiente de una función representa la máxima derivada

espacial en dirección y magnitud.

El negativo del gradiente de la función de energía potencial nos da la dirección y magnitud de la fuerza que actúa sobre una partícula en un campo, así también el signo negativo hace que la partícula se mueva en la dirección decreciente de la energía potencial.

También podemos expresar el rotacional de F con el operador de Del, de la sigueinte manera

y la condición de que una fuerza sea conservativa lo podemos escribir de forma compacta como

entonces, si el rotacional de F es cero, entonces, podemos derivar F de una función escalar V como

ya que el rotacional de cualquier gradiente es idéntico a cero, es decir

Con estos resultados podemos generalizar el principio de conservación de la energía en tres dimensiones. El trabajo realizado por una fuerza conservadora al mover una partícula del punto A al punto B es:

y como habíamos visto anteriormente que el trabajo realizado por cualquier fuerza neta es siempre igual al cambio en la energía cinética, entonces tendremos

entonces tendremos

y esto nos dice lo siguiente

y así llegamos a la ley de conservación de la energía.

Si F' es una fuerza no conservativa, esta no podrá ser igualada a

entonces, el incremento en el trabajo no será una diferencial exacta y esta no se podrá simplificar

en los casos en que ambas fuerzas, conservativas y no conservativas, están presentes, el incremento

del trabajo total

y esto nos dice que la energía no semantiene constate durante todo elmovimiento de la partícula, ya que esta va a disminuir o aumentar dependiendo de la fuerza no conservativa F'.

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