Movimiento armónico amortiguado parte 2

 I Sobreamortiguamiento

Esto se da cuando ambos exponentes de la ecuación (23) son reales, las constantes A1 y A2 se determinan con las condiciones iniciales de cada problema, el movimiento tendrá un comportamiento que decae exponencialmente por dos constantes diferente (ℽ-q) y (ℽ+q). En este caso si tenemos una masa que es desplazada de la posición de equilibrio, está regresará lentamente a la posición de equilibrio que oscile por la fuerza de amortiguamiento.

II Amortiguamiento crítico

Aquí teníamos que q = 0, por lo que la ecuación (17) será

vamos a tener que las constantes A1 y A2 no son independientes y su suma formará la constante A, si queremos una solución general vamos a tener que partir (24) y hacemos el siguiente cambio de variables

y lo sustituimos en (24)

y la solución de (26) debe ser de la forma

en donde

entonces u(t) será

igualamos esto con u

resolvemos para A

aplicamos el operador sobre x

pero si nos damos cuenta, esto parece una derivada de multiplicación de funciones, por lo que podríamos ponerlo como

ahora si integramos ambos lados de la ecuación tendremos

y esto debido a la definición del operador D será

por lo que si despejamos x tendremos

Como en el caso I si la masa se libera desde el reposo después de un desplazamiento inicial, el regreso no será oscilatorio y la masa m regresa al punto de equilibrio asintóticamente.

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