Oscilador armónico sobreamortiguado
El sobreamortiguamiento en un oscilador ocurre cuando el parámetro de amortiguamiento es mucho mayor que su frecuencia angular, la solución de este oscilador teníamos que es:
en donde, debemos recordar que las exponentes son reales, entonces su velocidad será, la derivada,
ahora de las ecuaciones (1) y (6) podemos obtener los valores de A1 y A2, notemos que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y lo vamos a resolver por el método de sustitución, primero de la ecuación (1) despejamos A1
como la expresión (6) tiene u término de posición, este lo vamos a sustituir por la ecuación (1) , su correspondiente,
ahora, ya tenemos una ecuación de velocidad que depende únicamente de los términos que buscamos, y sustituimos (8) en (9) y simplificamos
como ya tenemos una expresión que no podemos reducir de A2 la sustituimos en la ecuación (8) y simplificamos
en este caso, nos es conveniente tomar el inicio del movimiento, suponiendo que parte del reposo en t=0, entonces tendremos que
por lo que la ecuación (27) queda como
y la ecuación (24) queda como
Ahora usaremos dos combinaciones lineales de la velocidad y posición, las cuales son
primero calculemos 𝛼, primero sustituimos (35) y (39) en (1)
ahora en (6), sustituimos (41), (35) y (39)
de esta ultima ecuación podemos introducir la exponencial de la segunda suma a los paréntesis
ahora sustituimos (41) y (43) en (40) para obtener el término 𝛼
podemos ver que ambos términos que están multiplicados por el factor ℽ son iguales pero de signo contrario por lo cual se eliminan
por lo que
ahora para calcular ꞵ hacemos un procedimiento similar
entonces (51) y (59) nos quedó:
de ambas ecuaciones, podemos ver que, del lado derecho, los términos que están desaparecen con el tiempo exponencialmente, por lo que podemos decir ver que estas ecuaciones se transforman en
las cuales son las asíntotas en el espacio de fase.
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