Multiplicación por un escalar y propiedad distributiva

Supongamos que tenemos un vector A y un escalar c, tendremos que se cumple la siguiente propiedad

para probar esto primero supongamos que las componentes del vector A son

por lo cual si tomamos la parte izquierda de (1) y (2)

pero cuando un escalar esta multiplicando a un vector, realmente multiplica a todas y cada una de las componentes del vector por lo que nos queda

y como lamultiplicación de escalares es conmutativa podemos hacer lo siguiente

entonces si factorizamos c del mismo lado que esta multilicando tendremos que:

y si sustituimos (2) en (6) finalmente nos queda

por lo cual queda demostrada la propiedad de multiplicación de un vector por un escalar, a continuación

vamos a usar esta propiedad para demostrar la propiedad distributiva de los vectores.

Propiedad distributiva de los vectores

La propiedad distributiva de los vectores nos dice que si un esclar c esta multiplicando a la suma de dos vectores A y B, esto seria lo mismo que multiplicar cada uno de los vectores por el escalar y sumarlos posteriormente, es decir

Demostración:

Supongamos que tenemos un escalar c y dos vectores A y B los cuales tienen las siguientes componentes

a continuación partimos de la parte izquierda de la ecuación (8) y sustituimos (9) en ella

y realizando la suma

y ahora multiplicamos al escalar c con lo que nos queda

pero si distribuimos c en cada uno de los terminos de la suma de los vectores A y B tendremos lo

siguiente

pero esto también lo podemos ver de la siguiente manera

y si factorizamos el escalar c

y finalmente sustituyendo (9) en (15)

con lo cual hemos demostrado que se cumple la propiedad distributiva de los vectores.

<- Propiedad asociativa de vectores                   Producto punto- Propiedad conmutativa y distributiva ->