Velocidad y aceleración en coordenadas esféricas
Si usamos las coordenadas r, θ, 𝜙 para definir la posición de una partícula en el espacio, este vector de posición lo podemos escribir como
en donde la dirección de er esta ahora especificada por los ángulos θ y 𝜙, y vamos tener que introducir
dos vectores unitarios extras que son, eθ y e𝜙, y estos vectores unitarios los podemos escribir de la siguiente manera:
y también vamos a hacer uso de las relaciones inversas de (2), (3) y (4) para i, j y k :
Teniendo ya todas las expresiones de nuestras componentes procedemos a derivar la posición de la partícula para obtener la velocidad
y de esto vemos que tenemos la necesitad de derivar los vectores unitarios er , eθ y e𝜙, comenzamos con la derivada del primer vector
factorizamos de la siguiente manera
y podemos sustituir (3) y (4) en (13)
ahora procedemos a hacer la derivada de (3)
y factorizamos de la siguiente manera
sustituimos (2) y (4) en (17) y obtenemos
y por último derivamos (4)
en esta ecuación (20) vamos a sustituir (5) y (6) para que nos quede en términos de los vectores unitarios de las coordenadas esféricas
Factorizamos de la siguiente manera
pero sabemos que
por lo que si aplicamos (26) a (25) y si nos damos cuenta también de (25) se elimina el ultimo término ya que son términos iguales pero se están restando
Retomando (9) y sustituyendo (14) en esta tendremos
por lo tanto (29) será nuestra velocidad representada en coordenadas esféricas, y solo nos falta encontrar la aceleración en estas coordenadas, y para esto, lo que haremos será la derivada temporal
de (29), es decir:
por lo que la aceleración será
ahora sustituimos (14), (18) y (27) en (32)
a continuación factorizamos de la siguiente manera
por lo que finalmente (29) y (37) son la velocidad y la aceleración respectivamente cada una representadas en coordenadas polares.
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