Energía potencial

 Comenzamos utilizando la expresión de trabajo realizado por una partícula al pasar de la configuración 1 a la configuración 2

tambien vamos a usar la fuerza resultante que es ejercida sobre una partícula i

y habiamos visto que Fi (int)  la podemos expresar como una suma vectorial de todas las fuerzas

individuales Fij (int)

ahora, sustituimos (2) en (1)

y sustituyendo (3) en (4)

pero el producto punto lo podemos poner de la siguiente manera

y esto lo podemos poner como si fueran dos integrales que se suman

y la segunda suma la podemos representar con una sola sumatoria

a continuación vamos a suponer que las fuerzas Fi (ext) y Fij (int) son conservativas, es decir, estas serán derivables a partir de energías potenciales como semuestra a continuación

en donde Ui (ext ) y Uij (int ) son funciones de energía potencial, pero, no es necesario que tengan la

misma forma, aquí -∇i significa que la operación gradiente se realiza con respecto a la coordenadas de la i-ésima partícula.

A continuación lo que haremos será, trabajar con los elementos de W12 para poder integrar, y vamos

a tomar en cuenta que la tercera ley de Newton se cumple.

Comenzamos tomando la primer parte de W12 y sustituimos su correspondiente de (9)

Término 1

vamos tomar el integrando y trabajamos en el, haciendo lo siguiente

en donde l nos representa la coordenada y recordemos que i nos representa la partícula, y esto lo

podemos ver como

y si hacemos las derivadas parciales, derivadas enteras, tendremos la siguiente

pero como ya no tenemos términos en l podemos quitar la suma

entonces, el primer término de W12, la ecuación (10), queda

ahora vamos a trabajar con el segundo término de (8) y teniendo en cuanto la ecuación (15) de

centro de masa y movimiento del centro de masa.

Término 2

y este producto punto lo podemos poner como

pero si se cumple la tercera ley de Newton entonces

factorizando la fuerza interna

pero las velocidades las podemos representar de la siguiente manera

entonces (21) nos queda

ahora sustituimos su respectivo de (9) en (23)

trabajando con el integrando de (24) vemos que análogamente al proceso que usamos para el

término 1, tendremos

ya que la función potencial sólo de la distancia entre las partículas mi y mj dependerá de 6 cantidades,

3 coordenadas de mi las xi ,k y 3 coordenadas de mj las xj ,k, entonces la derivada total de Uij (int ) será la suma de dos derivadas, una que corresponde a la partícula i y otra que corresponda a la partícula j , esto es

en donde k indica la coordenada x1 = x, x2 = y y x3 = z, las i y j son las partículas, dentro de (26)  xj ,k permanece constante en el primer término y xi ,k permanecerá constante en el segundo término, por lo que

pero como Uij (int ) es un esclar y no cambia con la dirección, tendremos

entonces (27) será

por (9) tendremos

ahora sustituyendo (9) y (30) en (29)

sustituyendo (33) en (24)

si finalmente sustituimos (34) y (17) en (8) tendremos

recordemos que llegamos a esto tras suponer que las fuerzas externas e internas las podemos derivar de energias potenciales. La energía potencial total U del sistema de partículas la podemos escribir como

entonces (36) lo podemos escribir como.

 

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