Velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas

 Como las partículas no siempre están restringidas a moverse en solo dos dimensiones, es necesario ver el movimiento de partículas en tres dimensiones y para este tipo demovimiento vamos a ver que podemos representar la posición de una partícula en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas, pero en este caso nos centraremos únicamente en las coordenadas cilíndricas, posteriormente haremos las esféricas. 

En este caso vamos a poder escribir la posición de una partícula en las coordenadas R, 𝜙 y z, y la posición r la podemos escribir como una suma de magnitudes por algún vector unitario, en este caso será

en donde eR es es el vector radial unitario en el plano xy y ez es el vector unitario en el eje z, y vamos a agregar un tercer vector unitario e𝜙 para formar una triada, y de la siguiente imagen podemos ver que k=ez

los vectores unitarios los podemos representar de la siguiente manera

y ya que vamos a usar las derivadas de estos vectores unitarios, primero los derivamos usando (2) y (3)

facotrizando esto nos queda

y sustituimos (3) e (5)

ahora para la derivada de (3)

sustituimos (2) en (8)

y como el vector ez no cambia de dirección con el tiempo, su derivada temporal sería 0 es decir

teniendo todas las derivadas de los vectores unitarios, procedemos a realizar la derivada del vector de posición (1)

    sustituimos (6) y (10) en (12)

y con esto ya tendríamos la velocidad en coordenadas cilíndricas dada por (14), y para obtener la aceleración, derivamos la velocidad, es decir

ahora sustituimos (6) (9) y (10 ) en (16)

factorizamos los vectores unitarios

siendo (20) nuestra expresión para la aceleración en coordenadas cilíndricas.

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