Movimiento armónico amortiguado

abril 29, 2021

Movimiento armónico amortiguado

Consideremos que tenemos una masa m que esta colgando de un resorte con rigidez k que a su vez esta fijado a una pared como en el caso del oscilador armónico, pero aquí suponemos que tenemos una fuerza viscosa retardadora que es una función lineal como se muestra en diagrama. Podemos ver que x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio, entonces tendremos que la fuerza de restauración será

y la fuerza retardante será

en donde c es una constante de proporción, y teniendo en cuenta la segunda ley de Newton

tendremos que nuestra ecuación diferencial del movimiento será

dividimos todo entre m

ahora vamos a introducir el factor de amortiguamiento que esta dado por

por lo que la constante de proporción c es

por lo que si sustituimos (9) en (7)

y teniendo en cuenta que la frecuencia angular en el movimiento armónico es

entonces

sustituimos (13) en (11)

Sea D el operador derivada

ahora nosotros vamos a poder operar con una función cuadrática de D de tal manera que generemos la ecuación (14), esto lo hacemos de la siguiente manera, tomamos un operador que actúe sobre x de la siguiente manera, hacemos un procedimiento parecido a la factorización de x, y sustituimos las derivadas por el operador D con una potencia igual a el grado de la derivada

podemos usar el teorema del binomio para factorizar el operador D, de la siguiente manera

por lo que tendremos que los operadores de (17) son similares al de (16), pero lo que hicimos fue reducir el orden del operador derivada a una multiplicación de dos operadores derivada de primer orden, y también de (17) podemos ver que existen dos raíces o soluciones de esta ecuación, para el primer término entre corchetes vemos que una raíz es