Ecuación de energía para el movimiento de una partícula con restricción suave

 Cuando una partícula esta restringida, por ejemplo matemáticamente, esto significa que el movimiento de dicha partícula permanecerá en una superficie o curva definida, y a esto se le llamamovimiento restringido. En este caso veremos elmovimiento con una restricción suave.

La fuerza total que actúa sobre una partícula cuyo movimiento esta restringido, lo podemos expresar como la suma vectorial de la fuerza externa neta F y la fuerza de restricción R, entonces, la suma de estas dos fuerzas, como mencionamos anteriormente, produce la fuerza total que actua sobre la partícula, la cual la podemos expresar como

pero por la segunda ley de Newton tendríamos

podemos, ahora, tomar el producto escalar con la velocidad, de tal manera que nos queda lo siguiente

pero como tenemos el caso de una restricción suave, suponemos también que la superficie por donde se mueve la partícula no tiene fricción, entonces, como R es normal a la superficie y v siempre es tangente almovimeinto, en este caso también a la superficie ya que es por donde se mueve la partícula, por lo cual es tangente a la superficie, entonces como R y v son perpendiculares el producto interno desaparece

por lo cual solo tendríamos

y como lo hemos hecho anteriormente, del lado izquierdo de la ecuación anterior, introducimos la velocidad a la derivada, con lo cual tendríamos

pero como lamasa es una constante, la podemos introducir a la derivada sin mayor problema

consideremos que F es conservativa por lo cual lo podemos decir que

y también la velocidad la podemos expresar como

sustituimos (9) y (10) en (8)

y del lado izquierdo el producto escalar nos da como resultado

procedemos a despejar de tal modo que nos queda

y podemos proceder a integrar ambos lados de la ecuación anterior

y como habiamos visto en el operador de Del de la ecuación (16) a la (22) tenemos que la integral del lado derecho es

pero como tenemos que es la energía cinética mas la energía potencial, esto es la energía total, por lo cual

esto es un resultado esperado ya que por la falta de fricción la energía se conserva y por lo cual también se conservará para el caso de movimiento con restricciones sin fricción.

<- Movimiento de una partícula en un campo magnético uniforme y constante