Centro de masa y movimiento del centro de masa
esta constituido por N partículas con masas m1,m2,m3, ...,mN constantes, cuyos vectores de
posición están dados por r1, r2, r3, ..., rN, respectivamente con respecto al origen del sistema de
referencia (sistema inercial), entonces la masa total M del sistema estará dada por
Ahora bien, vamos a definir el centro de masa de un sistema de partículas como el ” punto cuyo
vector de posición R ” está dado por:
Movimiento del centro de masa
Una vez que tenemos una definición del centro de masa de un sistema discreto, el cual esta
constituido por N partículas que interactúan entre si y también existen fuerzas externas, entonces
vamos a tener que la fuerza resultante sobre la i-ésima partícula Fi , la cual estará compuesta
por la fuerza resultante externa Fi (ext) y la fuerza fuerza resultante interna Fi (int), esta fuerza interna
se se origina de la interacción de todas las otras partículas N menos la partícula i entonces seria
N-1 partículas sobre la i-ésima.
Nota: i = 1, 2, 3, 4, ...,N
En donde la fuerza Fi (int) la vamos a calcular como la suma vectorial de todas las fuerzas individuales
Fi j (int), es decir la fuerza que se aplica a la i-ésima partícula debido a la j-ésima partícula.
debido a que no hay auto-fuerzas la partícula i-ésima no puede interactuar consigo misma, entonces
por este motivo decimos que i≠ j .
pero podemos sustituir Fi de la ecuación (3) en la ecuación (5)
y sustituyendo (4) en (6) ya que podemos calcular Fi (int) nos queda:
De cada una de las ecuaciones que anteriores (7), vamos a tener una ecuación de movimiento para
cada una de las N partículas del sistema, y por esto vamos a tener un sistema de N ecuaciones, calcular esto es muy difícil, ya que las fuerzas de interacción Fij(int) dependen de las posiciones de las dos partículas (i, j), esto es:
Las N ecuaciones (7), pueden ser escritas de la siguiente manera:
ahora vamos a sumar sobre i ambos lados de la ecuación anterior
pero de la ecuación (2) podemos ver que despejando la suma nos queda:
y sustituyendo (11) en (10)
Ahora a continuación vamos a suponer que se cumple la tercera ley de Newton
enonces podemos ver que
entonces el término con la suma de la ecuación (12) lo podemos ver de la siguientemanera
que es justamente la ecuación de movimiento de una partícula de masa M sobre la cual actúa una
fuerza F(ext) .
Esto quiere decir que: el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si fuese una
partícula real, de masa igual a la masa total del sistema y sobre la cual actúa la fuerza externa total;
haciéndolo independientemente de la naturaleza de las fuerzas internas y siempre que se cumpla
la tercera ley de Newton.
En el caso especial en que el sistema de partículas esté aislado o cerrado, vamos a tener que
por lo cual si lo sustituimos en la ecuación (16) vamos a tener que
esto implica que en un sistema cerrado el centro de masa de éste se mueva con una velocidad constante
ya que la segunda derivada de la posición es la aceleración, y para que esta sea cero se debe de
cumplir que la primera derivada de la posición sea una constante, y en este caso el sistema realiza
un movimiento rectilineo uniforme.
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