Movimiento armónico amortiguado parte 3

 Si la constante ℽ es lo suficiente pequeña de tal modo que se cumpla

tendremos que el factor q será imaginario. Si tenemos una masa que es desplazada de su posición de equilibrio y después se suelta, esta oscilará, de una manera no muy diferente al caso anterior, la diferencia es la presencia del factor real -ℽ en la exponente de la solución que conlleva a que el movimiento oscilatorio termine. Ahora vamos a invertir los factores que están dentro de la raíz cuadrada de q, es decir

pero como esta ya no es la misma cantidad q que teníamos al inicio, la nombraremos como

ya que para que se pueda hacer el cambio de posición de los elementos de la raíz cuadrada es necesario factorizar un -1 y eso a su vez nos resulta en un número imaginario i , en donde 𝜔0 y 𝜔d son ambas frecuencias angulares del oscilador armónico no amortiguado y amortiguado respectivamente.

Lo que haremos a continuación será reescribir la solución de la ecuación (23) de la primera parte de movimiento amortiguado, en términos de los factores que hemos usado, esto quedaría de la siguiente manera

en donde las constantes de integración serán C+ y C-, pero aun podemos trabajar un poco mas la expresión anterior, de la siguiente manera

podemos ver que la solución contiene términos imaginarios, pero nosotros necesitamos una solución real ya que estamos describiendo el mundo real, por lo que las constante de integración son complejos conjugados el uno del otro, y esto nos permitirá expresar la solución en términos de senos y cosenos, entonces tomaremos el complejo conjugado de (5)

pero como habíamos dicho que la solución era real, entonces

y también para las constante podemos ver que cuando conjugamos alguna de las multiplicaciones de una constante por una exponencial podemos ver que obtenemos la otra exponencial antes de que obtuviéramos su complejo conjugado, es decir

y si aplicamos el conjugado a la ecuación anterior obtenemos

ahora sustituimos (7) (8) y (9) en (6)

ahora ya tenemos una solución que depende de una única constante de integración, pero como habíamos visto que C es compleja y esta la podemos expresar en términos de dos constantes reales, de la siguiente manera

y el conjugado será

entonces podemos ver que A es el desplazamiento máximo y 𝜃0 es la fase inicial del angulo de movimiento, por lo que nuestra solución queda como:

ahora de la ecuación (15) vamos a aplicar la identidad de Euler para ambos exponentes, de la siguiente manera

ya que (16) y (17) se están sumando en (15), las vamos a sumar también y esto nos queda

sustituimos (20) en (15)

y podemos ver que esta solución es muy parecida a la del oscilador no amortiguado, pero con dos diferencias, primero: debido a la presencia del factor exponencial real conduce a que las oscilaciones desaparezcan gradualmente, 2: la frecuencia angular del oscilador subamortiguado es 𝜔d debido a la presencia de fuerza de amortiguamiento.

Este oscilador subamortiguado vibrara mas lento que el oscilador sin amortiguamiento, por lo que

el periodo del oscilador subamortiguado será

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