Producto punto Propiedades conmutativa y distributiva

Sea que tenemos dos vectores A y B cuyas componente son escalares

el producto punto entre dos vectores estará definido por

Propiedad conmutativa

A partir de esta definición demostraremos las propiedades conmutativa y distributiva del producto punto de dos vectores, comenzamos con la propiedad conmutativa que nos dice lo siguiente

para demostrar esto, tomamos la definición del producto punto y como la multiplicación de escalares

es conmutativa podemos hacer lo siguiente

pero esto es como si tuviéramos el siguiente producto punto

y esto a su vez será

y comparando las ecuaciones (6) y (4) tenemos lo siguiente

por lo tanto por medio del uso de la propiedad transitiva demostramos que la propiedad conmutativa del producto punto se cumple.

Propiedad distributiva

Supongamos que tenemos tres vectores A, B y C cuyas componentes son las siguientes

                                     

y tenmos que la propiedad asociativas nos dice lo siguiente

para la demostración de esta propiedad comenzamos tomando la parte izquierda de la ecuación (9) y la ecuación (8)

primero realizamos la suma de los vectores B y C

y como esta suma nos dio un nuevo vector, tomamos la definición del producto punto y lo aplicamos a la parte derecha de esta ultima ecuación

desarrollamos las multiplicaciones de cada termino del nuevo vector

y esto lo podemos poner como la suma de dos productos punto

y si nos damos cuenta, cada una de las sumas que están en paréntesis son el producto punto de dos vectores, haciendo uso de la definición de producto punto tendremos lo siguiente

y así queda demostrada que se cumple la propiedad distributiva del producto punto.

<- Multiplicación por un ecalar - propiedad distributiva            Producto punto de vectores canónicos ->