Energía en el movimiento armónico

 Consideremos una partícula que esta bajo la acción de una fuerza de restauración lineal Fx= -kx y vamos a calcular el trabajo realizado por una fuerza externa Fext que mueve la partícula desde la posición de equilibrio (x=0) hasta una posición x, ahora hacemos que la fuerza externa se solamente un poco mayor que la fuerza restauradora, esto es, la fuerza externa mueve a la partícula muy lentamente, y esto lo podemos poner como

por lo que el trabajo será

si el resorte obedece la ley de Hooke, el trabajo es como si se almacenará en el resorte en forma de energía potencial W=V(x), en donde

por lo que tendremos que la fuerza de restauración la podemos escribir como

La energía total de la partícula en movimiento armónico es la suma de las energías cinética y potencial

y de esta ecuación podemos ver que la descripción de este oscilador armónico depende cuadráticamente

de la velocidad (por la energía cinética) y la posición (por la energía potencial) y vemos que la Energía total es constante si no hay otras fuerzas mas que la de restauración.

Podemos ver el movimiento de la partícula si de (7) resolvemos para la velocidad, esto es

y esto lo podemos integrar con respecto a x para obtener t en función de x recordando que

por lo que

e integrando ambos lados de la ecuación nos queda

por lo que sustituyendo la velocidad nos queda la integral

podemos hacer los siguientes cambios de variable para que seamas fácil de manejar la integral

y la integral a resolver sería

primer, para sustituir la integral hacemos que

por lo que la derivada de u con respecto a x será

sustituimos (19) en (15)

pero de (16) vemos que x es

entonces (20) nos queda como

ahora la integral que debemos solucionar será

esto lo resolvemos de la siguiente manera, ahora nuestro cambio de variable será

sustituimos (31) y (34) en (30)

y usando la siguiente relación de las funciones trigonométricas hiperbólicas

sustituimos esto en (35) y simplificamos

por lo que finalmente I nos queda

deshacemos el cambio y tenemos que de (32)

(41) lo sustituimos en (29)

y deshacemos el cambio de u

pero esto es, por propiedades del arcsinh

entonces t es

sustituimos a y b y simplificamos

en donde C es la constante de integración y podemos poner la ecuación anterior como

en donde A es la amplitud y esta la expresamos como

pero también podemos encontrar esta expresión de la amplitud directamente de (7) encontrando los puntos de inflexión donde

entonces (7) nos quedaría como

en donde el valor de x esta entre ±A para que la velocidad sea real.

También de (7) podemos ver que el valor máximo de la velocidad vmax ocurre cuando x=0, por lo que (7) lo podemos escribir como

pero podemos del lado izquierdomultiplicar por un uno, para conservar la igualdad, de la siguiente forma

y volver a multiplicar delmismo lado por otro uno y simplificamos de la siguiente manera

y hacemos lo siguiente, vamos a tomar una parte de la ecuaión y le vamos a aplicar una raiz cuadrada

y la elevaremos al cuadrado

y sustituimos (52) en (62) y finalmente nos queda

Conforme la partícula oscile, las energías cinética y potencial se irán intercambiando, la energía en x=0 será solamente energía cinética y la velocidad sera ±vmax , toda la energía será potencial en los extremos, cuando la velocidad sea 0 y x =±A.

<- Péndulo simple                                                                      Función de energía del péndulo simple ->